例70ax+by=c の整数解
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 3x-4y=0
(2) 45x+32y=3
解答 (1) 方程式を変形すると
3x=4y
(2)
3xは3の倍数であるから, 4yも3の倍数である。
3と4は互いに素であるからは3の倍数であり、整数を用いてy=3k と表される。
y=3k を3x=4y に代入すると
3x=4.3k
よって, 3x-4y=0 のすべての整数解は
45x+32y=3
すなわち
x=4k
x=4k, y=3k (kは整数)
x=5,y=-7は, 45x+32y=1の整数解の1つである。
45-5+32-(-7)=1
よって
両辺に3を掛けると
45・15+32・(-21)=3
①②から 45(x-15)+32(y+21)=0
②
すなわち 45(x-15)=32(y+21)
③
45と32は互いに素であるから, ③よりx15は32の倍数である。
よって, k を整数として, x-15=32k と表される。
これを ③ に代入すると
y+21=-45k
したがって, ①のすべての整数解は
x=32k+15,y=-45k-21 (kは整数)