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例題31 式の計算を利用する証明(2)[面積に関する証明]
半径rmの円形の池のまわりに, 幅amの道があります。こ
の道の面積をSm?, 道のまん中を通る円周(図の点線)の長さ
em
cam
-uL
をemとするとき,次の式が成り立つことを証明しなさい。
S=al
解き方
確認 証明の進め方
(証明) 道の面積Sは、
S, 0を共通の文字(a, r)を使って
(道の面積S)
=(外側の円の面積)>S=n(rta)-
ー(内側の円の面積)
表す。
=元(ア+2ar+a}) ー
それぞれの式を変形して,Sとa
が等しくなることを導く。
=2rar+na?
Sをaとrの式で
表す
=Ta(2r+a)…①
すなわち, S=al が成り立つ。
道のまん中を通る円周の長さ@は,
点線の円の半径
a
e=2元(r+
2
因数分解してから
別解
m
整理してもよい!
因数分解して変形しても、 同じよ
うに、Sをaとrで表すことができる。
S=z(r+a)°-
=x{(r+a)-
=x(r+a+r)(r+a-r)
=Ta (2r+a)…①
=2r十na
息をaとrの式で
表す
=元(2r+a)
これより, al=na (2r+a)…②
したがって, ①, ②から, S=al
