y+z=2
x
日本 例題 26 比例式の値
y
z+x=x+y
①①①①①
Z
のとき、この式の値を求めよ。
基本25
CHART O
OLUTION
比例式は=kとおく ......
******
・
x
y+z_z+x_x+y=k とおくと
解答
等式の証明ではなく, ここでは比例式そのものの値を求める
y
2
この3つの式からkの値を求める。 辺々を加えると, 共通因数 x+y+z が両辺
にできる。これを手がかりとして, x+y+zまたはkの値が求められる。 求め
の値に対しては,(分母)≠0(x0,yキ0,z≠0) を忘れずに確認する。
分母は0でないから
2+x_x+y=
y+z=xk, z+x=yk, x+y=zk
xyz=0
_XT =k とおくと
X
y
2
xyz = 0x≠0
かつ y=0 かつz0
y+z=xk
①, z+x=yk
①+②+③ から
2(x+y+z)=(x+y+z)k
･･②, x+y=zk
③
よって
ゆえに
(-2) (x+y+z)=0
k=2 または x+y+z=0
[1] k=2 のとき
x+y+zが0になる可
能性もあるから, 両辺を
これで割ってはいけな
① ② ③ から
y+z=2x
④,z+x=2y
******
⑤ x+y=2z
******
⑤から
y-x=2x-2y
よって
⑥
x=y
これを⑥に代入すると
x+x=2z
よ
よって
x=z
したがって
x=y=z
x=y=z かつ xyz ≠0 を満たす実数x, y, zの組は存在する。
[2] x+y+z=0 のとき
y+z=-x
_y+z=x=-1
よって k=1
x
x
[1], [2] から, 求める式の値は 2,1
INFORMATION
例えば x=y=z=1
例えば,x=3, y=-
z=-2 など, xyz キ
かつ x+y+z=0 を
たす実数x, y, zの
存在する。
①~③の左辺は,x,y,zの循環形 (x→y→z→x とおくと次の式が得られる)
なっている。循環形の式は、上の解答のように,辺々を加えたり引いたりするとう
くいくことが多い。 一般には, 連立方程式を解く要領で文字を減らすのが原則であ
