変数が4つもあるとウンザリしますよね。
でも順番に処理するとできます(変数を1個ずつ消去します)。

　※ 時々、全部足すとかいう閃きで簡単にできることもありますが
　　　これは、無さそうなので順番に。

3a+2b+c=0 ①
a+b+c+d=6 ②
12a+4b+c=0 ③
8a+4b+2c+d=5 ④

②④にしかdは現れないので まずdを消去
④-②より
7a+3b+c=-1 ⑤

これで ①③⑤の3本になりました。次はcを消します。
③-①より
9a+2b=0 ⑥

⑤-①より
4a+b=-1 ⑦

これで ⑥⑦だけになったので、 次はbを消します。
⑥-⑦*2より
a=2

⑦にa=2を代入して b=-9

⑤にa=2,b=-9を代入して c=12

②にa=2,b=-9,c=12を代入して d=1