pが成立すれば qが必ず成立する と考えると

2<x<3 ならば a<x<2a が成立　⇒ a<x<2a の範囲内に 2<x<3が入っていれば良い。

※ ＜,≦ どちらになるか悩むところですが、以下のように考えてはいかがでしょうか。慣れれば判断できるようになります。

まず最小値を考えると、 a＜2 であれば確実にOK
　また a=2 を考えると a<x ⇒ 2<x となり 2式は一致するので、これもOK。
　よって a≦2 ①

次に最大値を考えると 3＜2a であれば確実にOK
　また 2a=3 を考えると x<2a ⇒ x<3 となり 2式は一致するので、これもOK。
　よって 3≦2a ②

①②の２つを満たせばよいので。
　3≦2a より a≧3/2

　a≦2,a≧3/2 の両方を満たすのは 3/2≦a≦2