P→E、Q→Fとしてしまっています。すみません。
これが最も簡単な方法であるかはわかりませんが、思い付いた方法を書きます。
まず、写真３枚目のような証明によりα,βと書いている場所どうしが等しいことを示します。
そして、写真２枚目のように点Gを△CDE≡△DCGとなるようにとります。
このときできた四角形EDGCについて
DE=CG、CE=DGから平行四辺形であることがわかります。
したがって、AD∥BC, DE∥CGなので、平行線の同位角？により角ADEと角BCG(反時計回り)がどちらも90度であるとわかります。したがって、∠BCG(時計回り)の角度は270度となります。
ここで、角BCG(時計回り)について
∠CDE=∠DCGにより
θ+α+β+∠CDEが成り立ちます。
∠CDE=180-(α+β)なので
θ+α+β+∠CDE
=θ+α+β+180-α-β
=180+θ
よって180+θ=270よりθ=90度

なんだかもっと簡単にできそうな気もしますが、思い付いたら送ります。