回答

中性は電流を通しません。電流を通すのは水に溶かすと+イオンと-イオンに電離する物質だけです。硫酸H2So4にはH+とSo42-のイオンが存在しているため電流を通します。砂糖などの中性物質は水に溶かしてもイオンが存在しないので電離しません。だから電流を通さないのです。
アルカリ→中性→酸性の流れは分かると思うので中性が来たから酸性という考え方でいいと思います。
硫酸1mlに硫酸イオン1個存在しているので硫酸を加えればその分イオンの数も1個ずつ増加していきます。
中和反応で既にBa2+がSo42-で塩が発生、OH-とH+で水が生成されて中和が完全に行われたときにBa2+とOH-イオンが溶液中に存在しないことになるからです。なので加えた分だけイオン数も増加していきます。

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補足
だんだん水素イオンと水酸化物イオンが反応している。の後
それにより中性に近づいているので、電流は小さくなります。

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長くなってしまいました。よろしければ目を通してみてください。

イオンがない状態なので、薄い硫酸が8㎖の時は電流が流れません。そこで、水素イオンと水酸化物イオンがちょうど反応し、中和が8㎖で起こったと判断します。
その後の10㎖からは薄い硫酸にある水素イオンと結びつく水酸化物イオンは水酸化バリウムにはありません。そのまま水素イオンだけ増えていきます。なので問2は酸性です。
問3は先ほど言ったように薄い硫酸8㎖までは中和をするので水素イオンの数は増えません。しかしそのあとは増え続けるので右肩上がりのグラフとなります。また薄い硫酸1㎖には硫酸イオンがひとつしかないことから水素イオンは2つ2H+であることが分かるので、体積が1㎖増えたら水素イオンは2増えます。
問4はまとめです。グラフの初めを見てみるとイオンが多いほど電流が大きくなっています。だんだん水素イオンと水酸化物イオンが反応している。薄い硫酸で同様に考えると問3からイオンの数が増えてることがわかります。そのため電流が大きくなります。これをまとめると、「水素イオンと硫酸イオンが増えていったから。」という答えになります。

図は参照

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