まず、写真を見てください。
円順列なので、円を描くように球が7コ並びます。
仮に、左の図ように球が並んでいたとして、ガチャっと右に少しだけその円を回したものが右の図です。この場合、向きが変わっただけで球の順列そのものは変わっていないので、左と右の図で2通りあると考えるのではなく、左と右では同じ順列つまり一通りであると考えます。
今求めたいのは球そのものの順列で、上の例のようなダブりが無いようにするには、球を一つだけ固定して、残り6コの球の順列を考えれば良いのです。これについて詳しく説明します。仮に、白い球の目線になって考えてみましょう。写真の例では、白から見た景色（球の位置）は右と左で全く変わっていませんよね？白目線で見た時に、違う景色になっていれば違う順列とみなすことができます。よって、白を固定して考えると、残り赤2つ、青4つの順列ですね。この順列は6!/2!4!より、答えは15通りだと思います。