ちなみに、部分積分の公式は以下の写真のように出ます（既にご存知でしたらすみません）

置換積分が使えない時は、部分積分を疑いましょう。

部分積分も一応載せておきました。

置換積分は教科書に載っている積分の公式を使うための工夫なのです。

だから、どこかをtに置き換えたら（置き換える文字はtじゃなくても良い）、あなたの知っている積分の公式の形と同じになりそうなら、置換積分を使えば良いのです。

どこかをtで置き換えても知っている形にならないなら、部分積分を使えば良いのです。

ただしtに置き換えたら、積分する変数が変わるので、置き換えた式からdxとdtの関係（方程式）を作って代入することに注意です。

何度も言いますが、置換積分を使う理由はあなたの知っている積分公式の形にするために使うのです。
知っている形に出来たら解けるからです。