例えば、17を3で割ると17÷3=5...2ですよね。これは、17は、3という塊を5個作れるけど、2個しかないからもう1つ塊を作ることはできない。ということです。だから、3が5個分と2個の余りということなので、17=3×5+2と表せます。
一般に、ある数AをBで割ったときの商をQ,余りをRとするとA=BQ+Rが成り立ちます。(これは今後も使うとても重要なことなので覚えておきましょう。)
これと同じで、m÷7=a...3, n÷7=b...5より、m=7a+3, n=7b+5です。
mn=(7a+3)(7b+5)=49ab+35a+21b+15
ここで、7の倍数というのは、7k(kは整数)の形で表せて、7の倍数で表せる数というのは当たり前ですが、必ず7で割れます。よって、49ab+35a+21b+15を7の倍数、すなわち7×(何か)[=7の塊を作ることに相当する]とそうじゃない形[これこそが余り]に表すことで、余りを求めます。[A=BQ+Rについて、今の場合、割る数7がB、(何か)が商Q、7の塊を作れなかったところがRに相当する]
よって、49ab+35a+21b+15=49ab+35a+21b+(14+1)=7×(7ab+5a+3b+2)+1
なので(7ab+5a+3b+2)が商、1が余り、すなわち答えです。
高校で習う合同式の考えを使うと、
m≡3(mod7)
n≡5(mod7)
より、mn≡3×5≡1(mod7)
よって、1となります。