おけないです。
CがABの下にあるとします。
ΔABCの面積とΔABOの面積が等しくなるようにするには辺ABを共有しているので、ABと平行でOを通る直線上にCがあるはずです。(y=-2x上にCがある)
しかし、y=-2xとy=2x^2の交点は(0,0)と(-1,2)です。
Cのx座標は正なので、これらは該当しません。よって、CはABの下にはありません。

おけないです。ただ、下にある場合も考察していないので解答はあまりよくないように思えます。
点Cを直線ABについてQとは反対側にとると、y=-2xとなる。このとき、y=2x^2との交点は(0,0)となる。これは、x座標が正であるという条件を満たしていない。
という理由で除外されるため、答えには含まれません。二乗に比例する関数と等積変形をミックスした問題はよくでてくると思うので、必ず両側とも考察するようにしてください。x座標が正になるようにとか書かれていたら、反対側が除外されるケースが多いです。