回答ありがとうございます。
⑴について質問なのですが、なぜe>1だから発散なのでしょうか？

すみません、よく考えたら理解できました！
ありがとうございます！

(2)についてですが、
∞ (logn)³ ∞ { log(√n)}³
lim Σ ———–＝ lim Σ { ———–}
n→∞ n=1 n^√3 n→∞ n=1 { 2√n }
と
∞ ( 1 )³
lim Σ (——)＝∞
n→∞ n=1 (2√n)
は成り立たないのでは？

直感的には、任意のα>0に対して
logn＝o(n^α)
なので(2)は収束すると思います

ネットで調べてみたら、Σ(1/n^a) は、
0<a≦1のとき発散し、a>1のとき収束すると書いてあり、Σ(logn/n) >Σ(1/n)とあったので、Σ(log√n/√n) > Σ(1/√n)なのかなと思いました。
goβtさんのn→∞のとき、lognがn^aに比べて十分小さいという言い分はよくわかりますが、Σの場合だと極限が変わってきます。例として、Σ(1/n)は発散するので、それよりも大きいΣ(logn/n)も発散します。なので、一般にa_nが収束するならば、その和も収束するとは限らないです。その逆は成り立ちますが。

僕も合ってるか自信はありませんのであまり強くは言えないですが、goβtさんの見解は少し間違ってるように思えます。

Σ(1/√n)は発散しますがΣ(1/√n)³は収束するのではないでしょうか

はじめは
(logn)³=o(n^√3)
なので
Σ(logn)³/n^√3 ≒ Σ(1/n^√3)
ではないかという考えでしたが、ちょっと評価が雑すぎたっぽいです。あとで考えたらこの≒の考えは誤りでした

もうちょい真面目に考えてみたところ
(logn)³=o(n^(√3-1.5))
なので
(logn)³/n^√3=o(n^(-1.5))
より
Σ(logn)³/n^√3 < Σ(1/n^1.5)
となり収束が言えそうです

すいません、3乗することを忘れてました。
質問なんですが、最後の近似はどうやって求めたのですか？

最後の近似とはどれのことでしょうか？

(log)^3 = o(n^(√3-1.5))
のことです。

任意のα>0に対して
logn=o(n^α)
であることから、特にα=(√3-1.5)/3 のとき
logn=o(n^{(√3-1.5)/3})
なので、三乗して
(logn)³=o(n^(√3-1.5))
を得ます
1.5という数字は1と√3の間の数を適当に選んできました

そういうことでしたか。どうもありがとうございます😊