問題の意味は分かりました。
お願いします。

(証明)
(⇒)
f(x)がx=x₀で微分可能であるとき、
f'(x₀)=lim[Δx→0](Δy/Δx)
であるので
a=f'(x₀), ε=Δy-f'(x₀)Δx
とおけば
Δy=aΔx+ε
が成り立つ。さらに、
lim[Δx→0](ε/Δx)
=lim[Δx→0](Δy/Δx - f'(x₀))
=f'(x₀)-f'(x₀)
=0
よって(#)を満たすaが得られた

(⇐)
(#)を満たすaが存在するとき、
lim[Δx→0](ε/Δx)=0
より
lim[Δx→0]{(Δy-aΔx)/Δx}=0
lim[Δx→0](Δy/Δx - a)=0
lim[Δx→0](Δy/Δx)=a
よってf(x)はx=x₀で微分可能である

ここら辺は命題が分かりにくいのもあって証明を読んでもすぐには入ってこないかもしれません

十分条件のaとεを導関数を用いて置くところが難しいです…
証明の流れは分かりました。ありがとうございました。

理解できたようでよかったです

a,εをおくところは、
a=f'(x₀)
だろうという考えがまずあって、その後
Δy=aΔx+ε
を満たすためには
ε=Δy-aΔx
=Δy-f'(x₀)Δx
とおくしかない、という考え方ですね

なるほど。この問題は解説がないので助かりました。