説明の都合上ベクトルとただの実数との区別ができませんがうまく読み取ってください。あと下付き添字にrがなかったのでiで代用します
互いに同じ1次関係式をもつということは
任意の c₁,c₂,…,cᵢ∈ℝ に対して
c₁a₁+c₂a₂…+cᵢaᵢ=0
⇔c₁(Pa₁)+c₂(Pa₂)+…+cᵢ(Paᵢ)=0…(#)
が成り立つことを確認すればいいですね
まずは(#)の⇒から示していきます
c₁(Pa₁)+c₂(Pa₂)+…+cᵢ(Paᵢ)
＝P(c₁a₁)+P(c₂a₂)+…+P(cᵢaᵢ)
＝P(c₁a₁+c₂a₂+…+cᵢaᵢ)
なので、c₁a₁+c₂a₂…+cᵢaᵢ=0 ならば
c₁(Pa₁)+c₂(Pa₂)+…+cᵢ(Paᵢ)＝P(0)=0
これより(#)の⇒が成り立ちます
逆を示します。Pは正則なので
c₁(Pa₁)+…+cᵢ(Paᵢ)＝P(c₁a₁+…+cᵢaᵢ)
の両辺に左からP⁻¹をかけると
P⁻¹{c₁(Pa₁)+…+cᵢ(Paᵢ)}＝c₁a₁+…+cᵢaᵢ
c₁a₁+…+cᵢaᵢ＝P⁻¹{c₁(Pa₁)+…+cᵢ(Paᵢ)}
したがって、c₁(Pa₁)+…+cᵢ(Paᵢ)=0 ならば
c₁a₁+…+cᵢaᵢ＝P⁻¹(0)=0
これで(#)の⇐も成り立ちました
そうですね。同値命題
a₁, … ,aᵢ が一次従属 ⇔ Pa₁, … ,Paᵢ が一次従属
においてそれぞれの否定をとればいいですね
ありがとうございます。
ありがとうございます、理解出来ました。
ちなみに、補題3.1.4の一次従属の部分が一次独立になっても成り立ちますよね？