【解答例】Ⅲ 1
(1) 水平方向に v0cosθ で等速直線運動をするので、時刻 t で x = a より、
a = v0cosθ * t
∴ t = a / v0cosθ ...[1]
(2) Pは鉛直方向に初速度 v0sinθ、重力加速度 g で等加速度運動をするので、
等加速度運動の公式より、
yp = v0sinθ * t - 1/2 * g * t^2 ...[2]
[2]式に[1]式を代入して、
yp
= v0sinθ * a / v0cosθ - 1/2 * g * (a / v0cosθ)^2
= a * tanθ - (1/2)g * (a / v0cosθ)^2
Qは自由落下運動をする。時刻 t では、(1/2)g * t^2だけ下がるので、
yq = b - (1/2)g * t^2 ...[3]
[3]式に[1]式を代入して、
yq = b - (1/2)g * (a / v0cosθ)^2
(3) PとQが衝突するのは、yp = yq となる場合なので、(2)より、
yp = yq
a * tanθ - (1/2)g * (a / v0cosθ)^2 = b - (1/2)g * (a / v0cosθ)^2
a * tanθ = b
∴ tanθ = b/a
(4) x軸の上側で衝突が起こるので、yp、または yq が正となればよい。
yp ≧ 0 として、
yp = a * tanθ - (1/2)g * (a / v0cosθ)^2 ≧ 0
⇔ a * tanθ ≧ (1/2)g * (a / v0cosθ)^2
ここで、衝突が起こる条件 tanθ = b/a より、cosθ = a / √(a^2 + b^2) なので、代入して
a * b/a ≧ (1/2)g * [a / {v0 * a / √(a^2 + b^2)}]^2
b ≧ (1/2)g * (√(a^2 + b^2) / v0)^2
v0について整理して、
v0 ≧ √[{g * (a^2 + b^2)} / 2b]
※tanθ = b/aとなる直角三角形を考えてcosθを求める。
または、関係式(tanθ)^2 + 1 = 1 / (cosθ)^2からcosθを求める。
(5) 相対運動を考えるために、相対加速度と相対初速度を求める。
鉛直方向には下向きに重力加速度 g がPとQの両方にかかっているので、
相対加速度は、g - g = 0
またQは自由落下させたため、初速度 0。よって相対初速度は、
v0 - 0 = v0
相対加速度がゼロであるので、相対速度は変化せず、v0 で一定。
つまりQから見るとPは速度 v0 で等速直線運動をする。
（QからするとPがまっすぐに向かってくる）
Pが投げ出されてから衝突するまでの時間は、Pが x = a のときに衝突が起きる条件 tanθ = b/aを満たせばいい。
[1]式より、Pが x = a のとき
t = a / v0cosθ
ここで、cosθ = a / √(a^2 + b^2)を代入して、
∴ t = a / {v0 * a / √(a^2 + b^2)} = √(a^2 + b^2) / v0

【別解】(3),(4),(5)
(3)' (5)での相対運動の議論より、QからするとPは等速直線運動する。
つまり、初速度のベクトルがQを向いていれば初速度の大きさに関係なく衝突するとわかる。
このとき tanθ = b/a
(4)' yq ≧ 0として、
yq = b - (1/2)g * (a / v0cosθ)^2 ≧ 0
b ≧ (1/2)g * (a / v0cosθ)^2
となり、yp ≧ 0 の場合と同様になる。
(5)' 相対運動を考えて、PQ間のはじめの距離 √(a^2 + b^2)を相対速度 v0で等速直線運動してくると考えてもよい。
その場合、
t = √(a^2 + b^2) / v0
((5)の解答に一致する)

※名問の森(力学、p.8)からひっぱってきた問題と思われるのでわかりにくい場合は本屋さんへ。