この方法でよければ……。

(1)〜(3)までしかきちんと説明できず申し訳ありません。

(1)aはx=-4の時、y=-4になることがヒントです。
-4=16a
a=-1/4です。

ではpは、x=2です。
y=-1/4×4
y=-1です。

(2)-3≦x≦5なので
y=-1/4X2乗のxに-3と5を代入しましょう。

おそらくx=5の時の方がyは小さくなります。

(3)A(-4,-4) B(2,-1)です。
求める直線の式をy=mx+nと置きましょう。
点A点Bをそれぞれ代入し、
-4=-4m+n…①
-1=2m+n…②
となり①②を連立方程式で解きましょう。
-4m+n=-4…①
2m+n=-1…②

②を2倍し
-4m+n=-4①
4m+2n=-2②

3n=-6
n=-2

これを①に代入
-4m-2=-4
-4m=-2
m=1/2

よって答えは
y=1/2x-2

です。

(4)四角形ABCDが平行四辺形なことがヒントです。
点D(0,y)とおきます。そこから、どこの直線と直線の変化の割合(傾き)が同じになるか、求めましょう。

習っていませんが………
(1)
-4=a × 16
a=-1/4かな？

y=-1/4x2

代入して
y=-1/4 × 4
y=-1
q=-1

(2)
代入して
y=-1/4 × 9
y=-9/4

y=-1/4 × 25
y=-25/4

-25/4≦x≦-9/4

(3)
(-4,-4)(2,-1)を通る直線なので変化の割合は
3/6=1/2
y=1/2x+b
(2,-1)を代入
-1=1+b
b=-2
y=1/2-2

(4)