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敬語の使われ方に注意して読むと、登場人物間の身分の関係が分かります。特に、申し上げるという意味の「啓す」「奏す」などが出て来たら、「啓す」が使われている相手は中宮や東宮(皇太子)で「奏す」が使われている相手は帝や上皇、法皇など天皇ということが書かれていなくても読み取ることができます。
あとは出てくる単語によってはそれだけで話の内容がわかることもあります。(ふと出てきただけで話の主旨とは関係ないことももちろんあります)「行ふ」は仏道修行をするという意味なので、これが出てきたら仏教や仏道、また僧の話である可能性が高いです。「垣間見」が出てきたら恋の話である可能性が高いです。
あとは文末の(。の前だけでなく、の前もです)「を」で主語が変わることがよくあります。
助動詞の意味や単語の読み方、意味などは覚えるしかないと思います。
またまた付け足しです。多くてすみません。
文法で、最低限覚えておいたほうが良い呼応の副詞です。
「な〜そ」〜するな【禁止】
例)な泣きそ 泣くな
「え〜(打消)」 〜できない【不可能】
例)え奏し給はず 申し上げなさることができない
質問者さんの学年にもよりますが、一年生ならこの二つを知っていればいいと思います。(すでに覚えていらっしゃるかもしれませんが)
画像のものは覚えておくと便利です。


余談ですが、昔の人は何かあるとすぐに泣くので(大げさな表現が多いので)袖や枕が濡れる→涙で濡れているというような一種の比喩のような表現が多いです。また、昔の人は何かあるとすぐに和歌を詠みます。(笑)何かに感銘を受けたり叶わない恋や恋い慕う人のことを思って読むことが多いです。これは前後に、月の美しさに心を動かされて、や、叶わない恋を想って、みたいな感じになぜ和歌を詠んだのか、何に対して和歌を詠んだのかが文脈からある程度意味が読み取れることもあります。読めないこともありますが…。あと和歌には和歌で返すのが昔の常識で、返歌は前の歌を受けて同じような言葉を使っていることもあります。歌合わせの時は特にです。
何にしろ大まかに読み取れたらある程度は答えられると思います。分からない単語も形容詞などは最悪無視してもどうにかなると思います。訳す問題には対応できないかもしれませんが。プラスの意味かマイナスの意味かくらいは取れたほうが読むのが楽だと思います。単語を覚えていないなら動詞と名詞から覚えるのがオススメです。形容詞は最悪どうにかならないこともないと思うので。