問題文で聞かれているのは，「すべてのx,y≧0に対して①が成り立つとき，c≧1が言えるか？」ということです．
すべてのx,y≧0で成り立つなら，具体的なx,y(≧0)を代入しても①は正しい不等式なはずですよね？
例えば，x=0,y=1を代入したら①はc≧0となります．　つまり，少なくともc≧0は正しい不等式．
それでは，x=y=1を代入すると......？　c≧1が出てきます．
よって，c≧1は正しい不等式であると言えるんです！

論理をおさらいすると，
「すべてのx,y≧0に対して①が成り立つ」⇒「x=y=1に対しても①は成り立つ」⇒「c≧1は成り立つ」
です！