値を求めよ。 ただし, α >0 とする。 479* 2つの関数 f(x)=x-3x+p, g(x) = x +qx-1が等しい極大値と等しい 極小値をもつような定数 g の値を求めよ。ただし,g>0 とする。 もつとき, 定数 αの値を求めよ。

154 数学Ⅱ 478 f(x)=x3ax' + 5 を微分すると f'(x)=3x²-6ax = 3x(x-2a) f (x) = 0 となるは x = 0, 2a ようになる。 x g'(x) + 23 39 0 0 4 g(x) 7 279-1 7 0 f(x) g(x) が等しい極大値と等しい 値をもつから 4 10+2 = 11792-1 |ｶ-2=-1 よって,a>0より, f(x) の増減表は次の ようになる。 2a 北 0 f'(x) + 0 0 + f(x) 5 5-4a³ これと解くと p = 1, q=3 ゆえに、f(x)の極値は x=0 のとき 極大値 5 x=2のとき 極小値 5-4α3 極大値と極小値の差が4になることから 5-(5-4a³)=4 4a3 = 4 480 f(x)=x3ax を微分すると f'(x) = 3x2-6ax = 3x(x-2a) f'(x) = 0 となるxは x=0,2a a³ = 1 αは実数であるから α = 1 これはa>0を満たしている。 よって a=1 (i) α <0 のとき よって、f(x)の増減表は次のようになる。 AJ x 2a 0 1 f'(x) + 0 479 f(x)=x-x+pを微分すると -4a³ 0 7 f'(x) =3x2-3 =3(x-1) =3(x+1)(x-1) f'(x) = 0 となる x は x=-1, 1 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 x f'(x) f(x) -1 + 0 p+2 - + 1 0 p-27 g(x) = x +gx^2-1 を微分すると gf(x) = 3x2 +2gx = x(3x+2q) g'(x) = 0 となる x は x = 0, 2 39 よって,q>0より,g(x)の増減表は次の f(x) 極大値が4であるから -4a³ = 4 よって=-1 αは実数であるから α=-1 これは α < 0 を満たしている。 (ii) a = 0 のときは, f(x) = x となり、 極値をもたない。 (ii) α>0 のとき Xx 2a 20 0 ...... f'(x) + 0 0 + f(x) > 0 \-4a³7 極大値は0であるから不適である。 (i), (ii), () より a=-1 481 (1) y'=6x2-6