回答
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分母が
x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)
と変形できることから、部分分数分解を用いると画像のようになると思います。
1/{x(x-1)(x+1)}=A/x + B/(x-1) + C/(x+1)
とおき、両辺にx(x-1)(x+1)をかけると
1=A(x^2-1)+B(x^2+x)+C(x^2-x)
1=(A+B+C)x^2+(B-C)x-A
A+B+C=0,B-C=0,-A=1を解くことで
A=-1,B=C=1/2が得られます。
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最初に置いたA,B,Cは定数です。
1=(A+B+C)x^2+(B-C)x-A
がxによらず成り立つ(恒等式)ためには
A+B+C=0,B-C=0,-A=1
が成立していないといけません。