42 基本 例題 22 条件 a+b+c=0のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) a'+26°-c+3ab+bc=0 (2)a+b+c=-3(a+b)(b+c)(c+α) 指針▷a+b+c=0は条件式であるから,文字を減らす方針で進め すなわち, c-a-b[=-(a+b)] として, c を減らす。 このとき, α 6は自由に動くことができて、 この問題は,α, b, A 2文字についての等式の証明になる。 (2) 前ページ例題21の指針3の方針。 A=B⇔A-B=0 から, a+b+c+3(a+b)(b+c)(c+a) CHART 条件式 文字を減らす方針で使う 解答 (1) a+b+c=0より,c=-(a+b) であるからd-0. a2+262-c+3ab+bc=a²+262-(a+b)2+3ab-b(a+b) =α²+262-(a²+2ab+62) +3ab-ab-62 =0 (2) a+b+c=0より,c=-(a+b) であるから a+b+c+3(a+b)(b+c)(c+α) =a+b-(a+b)+3(a+b)(6-a-b)(-a-b+α) =a³+b³-(a³+3a2b+3ab²+63)+3ab(a+b) =-3a2b-3ab²+3a2b+3ab² =0 したがって a+b+c=-3(a+b)(b+c)(c+α)

(2) a+b+c=0より,c=-(a+b) であるから a³+b³+c³+3(a+b)(b+c)(c+a) =a³+b³−(a+b)³+³ (a+b)(b-a-b)(-a-b+a) =a³+b³−(a³+3a2b+3ab2+63)+3ab(a+b) =-3a2b-3ab2+3a²b+3ab² =0 したがって a³+b³+c³=−3(a+b)(b+c)(c+a)d