三角比の応用 三角形の面積, 余弦定理 16 すべての内角が 180° より小さい四角形ABCD がある. 辺の長さが AB=BC =r, AD = 2r とす る.さらに,辺 CD 上に点Eがあり、3つの三角形 △ABC, △ACE, △ADE の面積はすべて等しいと D [エ E C (1) α = β を示せ. する. α = ∠BAC, B= ∠CAD とおく. βを ka B A r (2) cos ∠DAB 3 = であるとするとき, sin ∠CAE の値を求めよ. 5 〔東北大〕

C △ABC は AB=BC=1の二等辺三角形だからB から ACに下ろした垂線 の足をMとすると 4 AC = 2AM = 2AB cos α = √5 M B △ACD について余弦定理より 2 4 A CD2 = 22 + -2.2. 4 2 √√√5 √5 2 ... CD = √5 △ACD について余弦定理より 2 2 2 + COS ∠ACD = 5 √5 2 2. 4 √√√5 √5 - ・22 = 0 ∠ECA=90° またACE = △ADE で,これらをCE と DE を底辺とみたとき高さが共通 よりCE = DE= CD 1 したがって, △ACE について 2 √5 CE tan ∠CAE = = AC これより sin CAE √17 フォローアップ] 545- √5 1 √5 || 1|4 ✓17 4 ∠CAE

解答 r=1としても示すべき内容, 求める値に影響を与えない。 (1)面積の条件より 2 x AABC = AACD 2 • 2 · AB AC sin α = 1 .AC. AD. sinẞ 2 (AB = 1, AD=2 >>> sin α = sin ẞ .. α = β またはα=180°-β α+β < 180° つまりα < 180°βだからα =β (2)∠DAB=α+3=20 (<180°...①) だから条件より cos 2α = ⇔ COS 5 cos² α = 4 3 <2 cos² α-1 = 3 5 ①より0° <α <90° だから cosa 0 cos α = cos ẞ = 2 √√5