第五問 次の問に答えよ。 (1)0 <p<2,0 <g < 2として,円æ2+y2=4と直線px+qy=4が接しているとす る。 この接線と軸, y 軸とで囲まれた三角形を軸のまわりに1回転してでき 42) 43) ある円錐の体積をVとしたとき, Vは p = 44) 45) 46) 9= で最小値48) 49 49) を をとる。 |47)

五 解答 (1)42)243)344) 345)246)647)3 48) 4 49) 3 (2)50)51)2852)753)54)27 <解説 円錐の体積の最小値, 積分方程式 面積 > el (81 (1)円 x2+y2=4 ････①と直線px+gy-4=0 ...... ②が接しているか ら (円 ①の中心 (0,0) と直線 ②の距離) (円①の半径)より J

p-0+9-0-41 2 √p²+q² =2 |-4|=2√p°+q2 ..... 3 R²+q²=4 直線 ②とx軸, y 軸との交点をそれぞれA,B -20 0 12 ① と直接しているから、相 B(0.4) 2 方式 1回転させた円錐となるので なぜこにして V=1/2xOBOA π 3 e ③ より V= 4 64π • 4 64π = 1 3 3 p(4-p²) 0> (es- O 4 X 1 ④ c. f(p)p(4-p²=-p³+4p (0<p<2) f'(p)=-32-4 Ets 14 --3(0+ 2/3 ) (0-23) √3 0 <p <2におけるf (p) の増減表は,右 のようになる。 p (0) f'(p) f(p) (0) とおくと A( 0). B(0.4) 難をそれ であるから,Vは,△OAB をx軸のまわりに VA ABと 4 gB 23 √√3 (2 + K 0 16. 3√3 64π 1 ④ より V= . 3 f(p) だから,f(p) が最大のとき,Vは最小とな 2 よって 2√3 64 p= = ← √3 3 42)~44) このとき ③より = 83 3/32 0 <g <2より g= 2v22v6 (2 2280323 2/2 9707 3 3 →45) ~47) であり,Vの最小値は 64π 3√3 13→48).49) 参考 ③より円x'+y'=4と直線px+αy=4との接点の座標 \16/