第4問~第7間は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。 (選択問題) (配点 16) 太郎さんと花子さんは、3項間の漸化式に関する問題Aと, 4項間の漸化式に関す る問題 B について話している。 二人の会話を読んで、下の問いに答えよ。 D F 第4問 (1) 問題 A 次のように定められた数列{az} の一般項を求めよ。 a1= -3, a2= 9, an+2 ==== 5an+1 -4am(n=1,2,3, ...) 太郎:2項間の漸化式 an+1=pan+g は,この式を an+1 -α = p(an-α) に変形して、数列{a} の一般項を求めたね。 花子 :3 項間の漸化式も,同じように変形して一般項を求められるのかな。 数列{an} の漸化式を an+2 -Ban+1 = α(an+1-Ban) に変形する。この式は an+2= ( a +β)an+1 -aßan であるから,この式を満たす α βを求めると (a, ẞ)= ア イ イ ア である。ただし, ア < イ とする。 (数学 II, 数学 B 数学C第4問は次ページに続く。) ①-10-

(i) (a, ẞ) = (アイ)のとき bn =anti-Ban とおくと, 数列{カットは ウ ことから、数列{bットの一般項 を求めることができる。 よって anti-Ban である。 エオ (ii) (α,β) = イ ア のとき う Cn =an+1 - Ban とおくと、数列{c} は カ ことから、数列{c} の一般項 を求めることができる。 よって an+1 - Ban = キ ク である。

第4問 (1) an+2= (a+β)an+1-aβa より Sa+β=5 aẞß= 4 βを消去すると α(5-α)=4 (a-1)(a-4)=0 a=1,4 よって、 求めるα βの組は (a, B)=(1, 4), (4, 1) (i) (α,β) = (14) のとき an+2 40n+1 = an+1 - bn=an+1 -4a とおくと bn+1 = bn 4an となるから、数列{bm} はすべての項が同じ値からなる数列である。 b1=a2-4a1=9-4(-3)=21 であるから ゆえに bn=21 an+1 -4an = 21 (ii) (ap, β) = (41) のとき an+2 an+1=4(an+1 - a) Cn = an+1 - an とおくと となり Cn+1=4Cn C1=a2-a1=9-(-3)=12 であるから, 数列{c} は公比が1より大きい等比数列である。 よって Cn=12.4n-1 = 3.4" ゆえに an+1 - an = 3.4n 1b1=62=...=bn 1数列{C} は初項 12, 公比4 の等比数列である。 ② ① より ゆえに 3an=3.4-21 an=4"-7 (2) a aa ① ① aa