[2] αを実数の定数とし、関数 f(x)= について考える。 4 以下, ①の条件のもとで考える。 ナ la- ハ a- ヒ f(x) の極小値は と表され, 0≦x≦2 48 AA における f(x) の最大値がf(2) となるようなαの値の範囲は (1)=1 ツ であるから,f'(x)は テ ナ a- f'(x)=x x- ト ト である。 テ と表すことができ, f(x) がx= で極大値をとるようなαの値の範囲は ト である。 ネ a ヌ ヌ 解答群 ① < ② > ④≧ (数学Ⅱ 数学 B 数学C第3問は次ページに続く。) フ ① かつ < フ また, ① かつα< であるとき,0≦x≦2 における f(x) の最小値は へ ホ である。 ホ の解答群 f(0) ①f(2) テ ナ a- 2 f ③f ト ト (第2回7) (第2回8)

下さい 〔2〕 f'(x)=x230 4 Hi (3-1)-(3-1) (3a-4)>0 F である。 よって, 0≦x≦2 における f(x) の最小値は (0) () である。 F 最小値の候補は, 極小値か, 定義 城のx=0におけるf(x) の値で ある(定義域の端x2では最大)。 f(0) = 0 であるから, 極小値の符 号を調べるとよい。 したがって、f'(x) は x 1/12 を因数にもち C f(x)=(x-2)(x-3) 3a-1 C 因数定理 と表すことができる f(x)がx=1212 で極大値をとるための条件は,f(x)の符号がx= =1/2の前 にもつ = 0 ⇔P(k) これより、f'(x) は 多項式P(x) 1次式x-kを因数 【参考】 を求める部分について 極大値, 極小値をもつ3次関数が, x=αで極大, 後で正から負に変化することである。 f'(x)=(x-2)(x-a) x=βで極小 (α <β) となるとき、 右図の点 すなわち, f (x) = 0 が異なる2つの実数解をもち、その小さい方が 12/23 となることである。回 よって, 求める条件は 数項を比較して の形に表すことができ、f'(x)の定 Pのx座標をとすると a+B 2 8-a-B-a+B=p-B 3a-1 4 a=3 より a= 3a-1 となる。 この性質を利用すると と考えるとよい。 x 3a-1 a > () ---- 以下、①の条件のもとで考えると,f(x)の増減表は次のようになる。 3a-1 ... 2 2 f'(x) + 0 - 0 + > p = B+B-a D y=f(x) のグラフは下に凸の放物 線であるから、f'(x)の符号が正か ら負に変わるのは,y=f(x) のク ラフとx軸の2つの交点のうち、 の方である。 と求めることができる。 では,f(x)=. =(1/2)を満たすx(x+1/2)の値を y=f(x) 3a-1+(3-1)-9a-4 と求めてからas 1s / が得られる。 f(x) > 極大 V 極小 極小値は (301)-(3-1)·(30-1)²+ 3a-1, 3-1 4 3a-1 2 (31)(2 (3-1)-3- (3a- 12 -1)-3-3a+6) (31)(-3a+4) (3a-1)2(3a-4) ......2 48 ここで 3a-1 2 112)=1/12(12)-12/10(12)+30-1.2-9a-4 S(2)=123.23-24.22+3a-1.2=9c+13 4 6 48 0≦x≦2 における f(x) の最大値が f (2) となるための条件は (2)f(2) E 9a-4 -9a+13 すなわち 【Point 48 6 よってas また, f(0) 0 であり, かつであるとき、②より E 最大値は, 極大値か、 定義域の端に おける f(x) の値である。 極大値を とるときのxの値x= x=1/2が 0≦x≦2の範囲に含まれるから、 最大値は 極大値 (2) または (2) である。 (第2回8) x=a+B x=B 以上のように, 3次関数の極大値, 極小値と同じ値をとる点のx座標は, この性質を利用して確認することができる。 Point 定義域 asxsb における関数の最大値、最小値を考えるときは, こ の定義域における極値と定義域の端における関数の値を比べる。 最大値: 極大値と定義域の端における関数の値のうち最大の値 最小値: 極小値と定義域の端における関数の値のうち最小の値 特に、この問題では触れていないが, 極値をとらない (単調に増加ま たは減少する)場合もあるので注意しておく。 また、関数の値を比較するだけでなく, 【参考】で述べたように, 極値 と同じ値をとるx を求めて, それが定義域に含まれるかどうかを調べ る方法もあるので押さえておこう。 (第2回9)