参考・概略です

　x²－2kx＋k＋2＝0

　判別式を考えると、
　　Ｄ/4＝k²－(k＋2)＝(k＋1)(k－2)　より
　　　①k＜－1，2＜k　のとき、2つの異なる実数解
　　　②k＝－1，2＝k　のとき、1つの実数解(重解)
　　　③－1＜k＜2　　 のとき、実数解なし

　①，②の範囲で、解(α、β)の正負を考えると
　　　α＋β＝2k、αβ＝k＋2　を利用し
　　　　㋐異符号の解(正と負の解)をもつとき
　　　　　αβ＝k＋2＜0　を解き、①②と合わせ、k＜－2
　　　　㋑同符号の解(正と正または負と負)の解をもつとき
　　　　　αβ＝k＋2＞0　を解き、①②と合わせ。－2＜k＜－1、2＜k
　　　　更に、
　　　　　ⅰ正と正の解を持つとき
　　　　　　α＋β＝2k＞0を解き、㋑と合わせ、k＞2
　　　　　ⅱ負と負の解を持つとき」
　　　　　　α＋β＝2k＜0を解き、㋑と合わせ、－2＜k＜－1
　　　また、
　　　　解が0となる時を考えると
　　　　　k＋2＝0　から、k＝－2　　　　
　　　　重解を考えると
　　　　　k＝－1のときx＝－1，k＝2のときx＝2
　以上から
　　k＜－2のとき　････････　正と負の実数解
　　k＝－2のとき　････････　負とx＝0の実数解
　　－2＜k＜－1のとき　･･･　負と負の実数解
　　k＝－1のとき　････････　負の重解x＝－1
　　－1＜k＜2のとき　･････　実数解なし
　　k＝2のとき　･･････････　正の実数解x＝2　
　　k＞2のとき　･･････････　正と正の実数解

以上、①，㋑、ⅰを考え
★異なる２つの正の解をもつのは、k＞2のときで
　　解答形式に合わせると、2＜k