86 §7 図形の性質 **56 [12分 】 △ABCの外接円を0とし, 外接円 0の点Aを含まない弧BC上に点Gをとる。 点G から直線AB, BC, CA に垂線を引き、 直線 AB, BC, CA との交点をそれぞれ D,E,F とする。 ∠AS90°の場合に, 3点D,E,Fの位置関係を調べよう。 (1) ∠Aが鋭角の場合を考える。 4点G, E, B, D は (2)Aが直角の場合を考える。 このとき,四角形ADGFは キ 87 点 G が弧 BC 上を動くとき, 線分 DF の長さが最大になるのは線分 AG が円 0の 直径になるときであり,このとき点 Eは線分 BCをク キ の解答群 に内分する ア <GDB= =90° であるから同一円周上にあり, したがって <BED = イ 同じようにして, 4点 G, C, F, Eも同一円周上にあるので ∠CEF= ウ さらに, 四角形ABGCは円に内接するから <DBG= これと <BDG= <GFC=90° から ⑩ 正方形である ② ひし形である ① 長方形である ③平行四辺形である ク の解答群 .......② @ AB: AC ③AC2: AB2 ZBGD= オ ...... ③ ① ② ③ から BED= カが成り立つ。 したがって, DEF=180°となり, 3点D, E, Fは一直線上にある。 ア ~ カ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。 @ZBGC ZBGD 2 ZBCG 3 ZCEF 4 ZCGF 6 ZCBG 6 ZGCF ⑦ <GEB ⑧ GFC (次ページに続く。) ① AC:AB ④AB・AC:BC ②AB:AC2 ⑤BC%AB-AC

成り立 EF と を求め √10+1 3(10-1) 9 11-2/10 3 56 (1) ∠A<90° のとき <GDB= ∠GEB=90° (⑦) であるから, 4点 G, E, B, Dは同一円周上にある。 したがって, 弧 BD の円周角を考えて ∠BED = ∠BGD (1) 同様にして, 4点G, C, F, Eも同一円周上にあるから B ∠CEF= ∠CGF (④) さらに, 四角形 ABGCは円 0に内接するから <DBG = ∠GCF (⑥) MAG また,∠BDG = ∠GFC =90° であるから ABGDACGF 解 | 説 であり ∠BGD= ∠CGF (④) ① ② ③ から <BED = ∠BGD (①より) = ∠CGF (③より) =∠CEF (③) (②より) が成り立つから <DEF=180° となり, D, E, Fは一直線上に B G ■D, E, F を通る直線をシム ソン線という。 Gをとる をそれぞれ う。 4.

90 解説 (2) ある。 ∠A=90° のとき, 四辺形ADGF は内角がすべて90°である から 長方形である(①)。 したがって, DFAG であり、 線分DFの長さが最大になるの は線分AGが円の直径になるときで,このとき点DはBに, 点FはCに一致する。 また であり ABGEAGCE △BGE: △GCE=BG" : GC' <JOC=∠JOD よって O, I, Jは同一直線上に ∠BJI=∠JOC=∠BOI となり BJ=BO=7 さらに,(1)より四角形 BMC1 であり A UJ=√BI2+BJ" = =AC': AB B=D ゆえに BE CE=△BGE: △GCE =AC: AB' (3) 57 (1) AOAB は二等辺三角形であるから ∠BAO= ∠AOB (1) C=F 58 (1) AB // DCより, 直線A CGのなす角に等しい。 直線AB と直線 CF のな しい。 よって 60° M AOAB の外角を考えることにより A 直線AB と面 CFKGの 等しい。 よって 45° ∠ABD= ∠BOA + ∠BAO=2/AOB ( ① ) また, 線分BJ は∠ABD の二等分線になるので ∠ABJ = ∠DBJ (④) であるから ∠ABD=2ZDBJ (④) ゆえに,∠AOB= ∠DBJ であり, 同位角が等しいので OA/BJ (0) Mは二等辺三角形の底辺の中点であり ∠BMA=90° Cは接点であるから JCO=90° よって, BM/JC, ∠BMC = ∠JCM(=90°) であるから①も考 (2)v=12,e=24,f=1 v-e+f=12-2 (3) 表面積は,一辺の長 √2の正三角形が8個 6(√2)+8 立方体から切り取っ 1/3(12/11) であるから,立体 2-8- 6