4 Ok 09) RO W 実数の定数 a b に対して, 関数 f(x) を ax+b f(x) = x2+x+1 ※定める。すべての実数』で不等式 JAG JA 冷 f(x) ≦ f(x)'-2f(x)2+2 が成り立つような点 (a,b) の範囲を図示せよ. を中心とす

したがって, 0= b でSは ds とき de -1+√33 cOS ∠B = cos 260= S (解説) 8 + 0 (л13) 1. 三角形の計量 (面積) についての最大・最小問題である. 前半は角を主役にして面 積を表し, 後半はその増減を調べる. 前半については2010年度乙4 と同様であるが、 後半はすこし工夫しないと面倒になる可能性がある. とはいえ2013年度の4に続い て微分の標準的問題である. 2. まず △ABCについては1辺と2つの角の関係が与えられているので,∠A= を主役にして正弦定理を利用することになる. 面積は S = 2 ・CAAB sin∠A, S = -ABBC sin ∠B 2 で求めても∠A=0で表すかぎり同じである. 後半はSの増減を調べるために微分するが, S = sin 30 cosのまま微分すると との三角関数がでてきて,この場合3倍角の公式で0にそろえることになり、でき なくはないがやや面倒になる.そのためここで失敗してしまった受験生もいたようだ が,「cos /B (= cos 26) を求めよ」と問題文にあることに注意すれば,角0 ではなく 角 20 で表せばよいと判断できる.するとSを20で表すには積→和の公式 sinar cos β = 1/12 {sin(a + B) + sin(α -β)} を利用すればよいことに気がつくだろう. .830: 「すべての実数xで F1F2F3≧0」 であるための条件が求めるものである. ここで 「3つの方程 1 = 0, F2 = 0, F3 = 0 はどの2つも共通解をもたない」 .... (*) 「f(x) = -1 かつ f(x) =1」 となり矛盾するからで、他の場合も同様である. 実際、例えばF1 = F2 = 0 がある x について成り立てば、そのxの値について いま, F1=0が異なる 2 実解α, βをもつと仮定すると, F1 はαの前後で符号を 変えるが,F2 = 0, F3 = 0 は αを解にもたないことから, F2, F3は αの近くで符号 を変えることはない.したがって, F1F2F3 x = αで符号を変えて, (*) に反する. F2, F3 についても同様だから, 2次方程式 F1 = 0, F2 = 0, F3 = 0 はいずれも異な る2 実解をもたない これらのx2の符号が正だから, 「すべての実数xで Fi≧02≧0F3≧0」 となり,このとき(*)は成り立つので,これが(*) であるための必要十分条件である。 ここで F2≧0⇔ f(x) ≦1 F3≧0⇔ f(x) ≦2 だから,F2 ≧0⇒F3≧0が成り立つので、結局 「すべての実数xで F1 ≧ 0 かつ F2 ≧0」 であるための条件が求めるものである.それは,F1 = 0, F2=0 の判別式をそれぞ れ D1, D2 とおくと, D1 ≦ 0 かつ D2 ≦0 D1 = (a + 1)2-4(b+ 1) = (a+1)^-4-4b D2 = (-a + 1)2 - 4(−6 + 1) = (a-1)2-4 +46 にも であるが, TOE aja 200 nix AD = 4 {f(x)3 - 2f(x)2 + 2} -f(x)=f(x)3-2f(x)2-f(x) +2 ={f(x) +1}{f(x)-1}{f(x) -2} だから だから, f(x) ≦ f(x)3 -2f(x)2 + 2 は {f(x) + 1}{f(x) - 1}{f(x)-2} ≧ 0 となり,これに f(x) = ると ax+b x 2 + x + 1 :.{f(x) + 1}{1 - f(x)}{2-f(x)} ≧0 -を代入して, 両辺に(x2+x+1) (0) をかけ { x2 + ( a + 1)x + b +1}{x2+(-a +1)x-b+1}{2x2+(-a+2)x6 +20 ①の左辺の3つのxの2次式を順にF1, F2, F3 と表すと ......... ① 1 × (a + 1)² - 1 ≤ b ≤ — — — (a −1)²+1 4 4 となり、求める範囲は右図の斜線部 (境界を含む). -√3 -1/ 解説 3)\ 19 (1x)\ 1. y = f(x) とおくと, f(x) についての不等式は yuy3-2y2+2 . (y + 1)(y -1)(x-2)0 175 1 1

14 f(x)=f(x)-f(x)^2+2と変形すると、 (f(x)-1)(f(x)-2)(+(2)+1)20-0 であることよりが成立するのは、 f(x)-2=f(x)-1=f(x)+1 f(x)-20 または、-1=f(x)=11時である。 "" - 1 = 4 (2) 51 -1 % ax+b = 1 ++1 それぞれにナナ(=(x+2/20)をかけると、 -(x²+x+1)=ax+b=x²+x+1 (a) x2+x+1 2ax+b x+x(1-a)+1-b=0 (x + 1-a)² - (-a)² + 1-420. すべてのでこれが成り立つには - ((-a)² + 1 - 20 +(a-1) +1 (x+x+1) (b) ax+b= ax+b+x²+x+1 atl ZO (x + a+1 )³- (a+1)² + h +1 20 すべての水でこれが成り立つには、 a +a+120 b = = (a+1)² -| F f(x) 220 linf(x)=lin ax + b x+x+1 A 0よりすべてので、f(x)-220が成立する aとbは存在しない 以上から R Tah☑ f(x)=f(2)-2(x)2 +2 すべてのxで成立するよう すると、 次のページへ進む 境界線を含む x²+x+1+ax+b20. f(x)=x²+x+ +x+1+ax+b f'(x)=2x+1+a 2x+lta-o. fx=-a-l 2. B