点P(-1, 1, -1) を通り, xy 平面と交わってできる図形が,中心(-1, 1, 0), 半径50円である球面の方程式を求めよ。

45 球面の中心は, 与えられた円の中心 (-1, 1, 0) を通る xy 平面に垂直な直線上にある から,その座標は(-1, 1, c) とおける。 球面の半径を とすると, 求める球面の方程式 は (x+1)+(y-1)2+(z-c)2=v2 ① この球面が xy 平面 z=0 と交わってできる図形 この方程式は

(x+1)2 + (y-1)2+(0-c)2=r2, z=0 すなわち (x+1)+(y-1)2=r2-c2, z=0 この方程式が xy平面上の半径 √5の円を表 すから r2-c2=5 ② また, ① が点 (-1, 1, -1) を通ることから (−1−c)2=v2 ..... (3) ② ③ を解いて c=2, r2=9 したがって, 求める球面の方程式は、 ① から (x+1)+(y-1)2+(z-2)²=9