実数全体の集合 で定義されている関数f(x)は、 任意の∈Rとm+n=1 を満たす任意の実数m,1 に対して f(mx+ny) = mf(x) + nf(y) をみたすものとし, g(x)=f(x)-f(0) とおくとき,次の!

(1)(2)を証明せよ。 (1)任意のsyERとm+n=1を満たす任意の実数 mnに対して, g(mx+ny) = mg(x) + ng(y) が成り立つ。 (2) 任意の ry∈R と任意の実数αに対して, g(ax)=ag(x), g(x+y)=g(x)+ g(y) が成り立つ。

(2) (1)で示した式にy=0を代入すると, g(mx) = mg(x)+ng(0) = =mg(x) (g(0)=f(0)-f(0) = 0) よって, 任意の実数aに対して g(ax)=ag(x)......① が成立する。 また,(1)で示した式にm=n= = 1/12 を代入すると, x+y 9 1/24)=1/29(土)+1/29(1)② g ここで, ①より x+y 9 ( x + 1 ) = ½-½ 9(x + y) 1/2(x+2) 2 であるから,これと②より、 (1) 1/12g(x+1)=1/29(土)+1/29(3) y) ⇔g(x + y) =g(x) + g(y) = 1 よって, 題意は示された。