検索すればたくさん説明があります

具体的に調べて糸口を見いだせないか期待します
p=2のとき3数は2,5,9 ✖︎
p=3のとき3数は3,7,13 ◎
p=5のとき3数は5,11,21 ✖︎
p=7のとき3数は7,15,29 ✖︎
p=11のとき3数は11,23,45 ✖︎
p=13のとき3数は13,27,53 ✖︎
p=17のとき3数は17,35,69 ✖︎

遅くともこの辺で、
3以外にない可能性が浮かぶと思います

さらに、眺めていて気づきたいのは、
3つとも素数でないとき、
素数でないその数はどんな数か？　という観点で
　pが3でない素数のとき
　2p+1と4p+1の一方は
　3の倍数のようだ ……☆
ということです（この時点ではあくまで説です

ここからやることは、☆を示すことです
これ自体はよくあるやつで、
「3で割った余りで分類」です
（これが腑に落ちないようだと、
基本が不足している印象です）

ごく簡単に言うと、kを自然数として
p=3kのとき、p=3のとき題意を満たし、
　p=6,9,12,…のときpは3の倍数
p=3k+1のとき、2p+1は3の倍数
p=3k-1のとき、4p+1は3の倍数

という感じでよいかと思います