第5問 (1) 2枚の硬貨を同時に1回投げる試行を100回繰り返した結果, 2枚とも表が出 回数は20回であったので, 2枚とも表が出る比率 (標本比率) は 20 100 である。 1回の試行で2枚とも表が出る確率をして に対する信頼度 95% この信頼区間を作る。 100回の試行において2枚とも表が出る回数を表す確率変数 Xは二項分布 B (100, p) に従い, X の平均は100p 分散は100p (1-p) であ 1. 2. ⑤ る。 の正規分布に従う。 よって、 確率 0.95 で 試行回数100は十分大きいので, Xは近似的に平均 100p, 分散 100p(1-p) ① |X-100p|≦1.96 100p(1-p) が成り立つ。 ①に試行の結果 X = 20 を代入すると 独立であることによる。この 独立性は2枚の硬貨の独立性 ではなく、試行の結果が過去 の履歴によらない(硬貨は記 憶をもたない)という独立性 である。 (2)円 120-100pl≦1.96,100p(1-p) となり, 両辺を100で割って |-|≤1.96 p(1 - p) 100 となる。②の右辺は小さい数なので、左辺も小さい数であり,pは // (標本比 率)に近い。そこで,右辺のを1/3で置き換えると 10.2-1.96-2 |-|≤1.96 1.96 . 100 =0.0784 50 となるので半径は 0.1216≦p ≦ 0.2784 P が得られる。これがpに対する信頼度 95%の信頼区間であり,p= 範囲に含まれるので、この結果により2枚の硬貨の表裏が独立であることが期 ・待される。 1はこの ++ (2)2枚とも表が出る確率が と言えるかどうかを,有意水準 5% で仮説検定を Jef 確率変数X が二項分布に従 うのは,100 回の試行結果が 二項分布 B(n, p)に従う確 率変数 X の平均 (期待値) E(X) および分散 V (X) は q=1-pを用いて E(X)= np V(X)=npa と表せる。 p1のとき p(1 - p) ≤ であるから,②の右辺は 0.098 以下である。 左辺はそ の値以下であるから,と1/3 はほぼ等しいと考えてよい。 40 となり0.05 結局、信頼区間 2枚の硬貨 信頼区間 まれるとはいえ 性が言えたと の仮説検定 はないという なない。 したがって、 いると考えら 回数を増 第6問 OX 直線A したが また、 であり する。 PO 変化→帰点変化あり 無仮説は「+」であり、対立仮説は「考である。⑩① 帰無仮説が正しいとすると, Xは二項分布 B(100+)に従う。 したが よう したがって, A Xは平均25 分散の正規分布に近似的に従うため、確率変数 Z=X-25 75 4 +PO は標準正規分布に近似的に従う。 試行の結果に対応するZの値は, 小数点以下 第3位を四捨五入すると すなわち、 z = 20-25 2 2√3 =-1.15 75 √3 3 4 である。 標準正規分布において P(0 ≤ Z ≤1.15) = 0.3749 であるから -6-9- <v3=1.73 を用いる。 なお、3で計算すると -3=-1.73 = - =-1.16 であり P(0 ≤ Z ≤1.16) = 0.3770 となる。 直 と同 す B

一布に従 結果が 第7 PZ-zZz)=1-2P(0≦z≦|z|) =1-2.0.3749 0.2502 となり, 0.05 より大きいので,有意水準 5% で はーと異なるとはいえない。 ➡ 0.0 研究 点から 結局、信頼区間や仮説検定によって、2枚の硬貨の独立性は確 うか。2枚の硬貨の独立性が成り立てば、2枚とも表が出る確率は1/3である。 (1)の信頼区間による方法はかに対する信頼度 95%の信頼区間にp = 1/12 が含 11 以外にも無数の数が含まれるので,独 ●。この 独立性 まれるとはいえ、その信頼区間にはp= が過去 貨は記 立性が言えたと断言できるほどではない。 (2)の仮説検定の方法は「独立である」という主張を否定できるほどの明確な証 拠はないということであり,独立であることが立証されたというほどの確かさは 9.0.04 1.16で計算すると 1-2.0.3770 0.246 となり、結果は変わらない。 Zは標準正規分布に近似的に 従うので,P(Z≧1.96) = 0.5であるから 2√3 -1.96 S を確かめてもよい。 + 独立性 従う確 ない。 期待値) (X) は したがって,本間の結論としては、2枚の硬貨の独立性は高い確率で成り立って いると考えられる,という程度である。独立性をさらに精密に検証するためには 試行回数を増やす必要がある。 右辺は 第6問 (1) (i) 直線 AD は ∠BAC の二等分線であるから, AB=6,CA=3より BD:DC=AB:CA=2:1 したがって AD = AB+2AC = AB+ AC 三辺はそ こよい。 また, BD: DC = 2:1,BC=5より 152 CD= 32 B D すると -1.16 であり、直線CI は BCA の二等分線であるから AI:ID=CA:CD=3:号= =9:5 中心とす よって (は) 次に、 AI-14AD=14AB+¥5 (i)△ABCの内部の点Pが5PA+3PB+6PC を満たすから = -5AP+3(AB-AP)+6(AC-AP) = 0 AP = 1/4 AB + AC すなわち、点P △ABC の内心Iは一致するから △PBC: △PCA:△PAB=BC:CA:AB =5:3:6 (2)直線 AI と辺BC の交点をDとおくと, BC =a, CA = b, AB=c より (1 と同様にして AD=bAB+GAC c+b 三つの三角形の底辺をそれぞ れ BC, CA, AB とすると ど の三角形の高さも内接円の半 径である。

(2)次に二人は (1) の試行結果に基づき, 有意水準 5% で仮説検定をすることにより 1回の試行で2枚とも表が出る確率p が と言えるかどうかを調べることにした。 まず, 帰無仮説は であり, 対立仮説は ト |」 である。 ヌネ 次に,帰無仮説が正しいとすると,X は平均 ナニ 分散 の正規分 201 X- ナニ 布に近似的に従うため, 確率変数 Z = は,標準正規分布に近似的 ヌネ 001 に従う。二人が得た結果に対応する Z の値を z とすると,標準正規分布におい て, zs-z| または Z≧|z|」 が成り立つ確率は0.05 より 水準 5% では 1/24 と √3=1.73 を用いてもよい。 ハ ので,有意 ヒ ただし, ハを考えるための計算においては、 テ トの解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) @p=1 =1/ 1 ① カキ ②p=1 4 ③カキ/ 15 ハ の解答群 ⑩ 大きい ヒ の解答群 ① 小さい ⑩異なるといえる ①異なるとはいえない (数学II,数学B,数学C 第5問は次ページに続く。) 次 灰