OTO (35点) 鋭角三角形ABC を考え, その面積をSとする。 0 < t<1をみたす実数に 対し, 線分AC を t 1 -t に内分する点をQ 線分BQ を 1 に内分する 点をPとする。 実数t がこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と, 線分 BCに よって囲まれる部分の面積を, Sを用いて表せ。 A

これよりy=g(x)のグラフをかくと右のようにな るので g(x) = 0 は整数解をもたない『より 3 ay PR DAC 18(x) (0) (0.0) (A 0<.0 <0,5>>@AR A Y y=f(x) 1-t A 1-t Pt B 18 は B-1)= y=g(x).. I a S A(0,0), B(a,b), C(0,c), P(x, y) となるように座標軸を定める.ただしa> 0,c>0,0<b<cとする.このとき,△ABCの面積は 300 S=1/2AC(Bの座標)=1/200 BC ...① である.Pは線分 BQ を, 点 Qは線分AC をそれぞれt: 1-tに内分するので に巻き この定積分に この AP=(1-t)AB + tAQ RASA あたまを=(1-t) AB + ttACである(x,y)=(1-t) (a,b)+t(0,c) こと (1-1)AB+1.1A(1,1)=(1D)(a,b)+t(0,c)こと ③すれば 全版:.x = a(1 - t)...... ②, y = ct2 + b (1 - t).....③ t=1-4 (②より)を0t<1と③に代入して整理するとPの軌跡の方程式は a C y = x² - 2 a² 2c-bx+c,0<x<a ∠BAC=90° a となる.これをy=f(x) とおく. 直線 BC の方程式は b-cr+c b - c x + c y = a だから,これをy=g(x) として とな f(x) − g(x) = x(x-a) - 95 - A

T= =Sg(x)-f(x)}dx=_b S" (g(x) − f(x)\dx = Sox(x-a)dx と表せるので,0≦x≦aにおいて, f(x) ≦g(x) である. したがって、Pの描く 曲線と線分 BC によって囲まれる部分の面積をTとすると & = a- 2 (A) (+ ① ④より, T=1/S 土) 別解 =0,-2 A(a,b), B(0,0),C(c,0),P(x, y) とおけるような座標軸を定める △ABC は鋭角三角形より0<a <c,b>0,c>0とする。 bc これよりS= 2 また条件より A- BP=tBQ=t{(1-t)BA + tBC =t(1-t) BA +t2BC ただし、 いずれも 0.2のときのみでし J-2 つまり 3で (x,y)=t(1-t) (a,b) +f(c,0) :.x=(c-a)t2+at(=x(t) とおく), y=b(t-t) (=y(t) とおく) 0<t<1だからy>0であり, c-a > 0 だから x'(t)=2(c-a)t+a>2(c-a) •0+a=a>0 (2,$ また (x(0),y(0)) = (0,0), (x(1),y(1)) = (c, 0) である.よって,P の上側をBからCまで動き, x 座標は常に増加する. Pの動く曲線と線分 BC ( 軸)とで囲まれる領域の面積を T とする. x=cのとき t = 1, x = 0 のと きt=0,dx=x(t)dt,y=y(t) より T = = Soydr = S² y(t DARD を意識していたかどう y(t)x(t) dtが分かるだろうし、五十!という接するの ( ALISA(1-1)= =bf {2(a–c)t³ + (2c-3a)² + at} dt(DD- - = b[ a = c 1 + 2c-3af3+ 3 別解 - bc 6 (①より)