H ない 個 3 次のように定義される数列{anがあります。 2 4 確率 数列 a=-1, an+1=an+2nan-2 (n=1, 2, 3, ......) これについて,次の問いに答えなさい。 (1) az, a3を求めなさい。 (2)第n項an を推測し, それが正しいことを証明しなさい。 【解き方】 2 (1) az=a2+2a1-2= -3, ag=a2+2・2a2-2=-5 a2= -3,ay=-5 解答 (2) (1) から, an = -2n+1と推測できる。 I.n=1のとき,a = -1であり,成り立つ。 Ⅱ.n=kのとき,k=-2k+1と仮定すると ak+1=ak+2kak-2=(-2k+1)^+2k (-2k+1)-2 = -2 (k+1) +1 よって, n=k+1のときも成り立つ。 I. II から, 数学的帰納法によりすべての自然数nについて a = -2n+1が成り立つ。 したがって, an=-2n+1である。 (証明終) an= -2n+1 解 にがり立つなら、 2