318. 四面体 ABCD において, 面 BCD, ACD, ABD, ABC の重心をそれぞれP, Q. R, S とする. (1) PQ と AB は平行であることを示せ. E (2) 四面体 ABCD と四面体 PQRSの体積比を求めよ. 60円(

B・ D (1) P, Qはそれぞれ,三角形 BCD, 三角形 ACD の重心であるから, IM (D) OB+OC+ OD OP: 3 OQ= よって, OA+OC+ OD PQ=OQ-OP OA+OC+OD OB + OC + OD = (OA- OB) 3 = -/BA と表されるので, PQ と AB は平行である ことが示される. (2)(1)より, |PQ|=1/23|BA| であることがわかり、同様に, |PR|=1/23|AC|. |PS|=/23|AD| |QR|=1/12|BC|. |RS|=12|CD| であることもわかるので,四面体 ABCD と四面体 PQRSは相似で, 相似比は3:1 である. よって、 四面体 ABCD と四面体 PQRS の 体積比は, 3: 13=27:1