基本店 255 00000 F (2) 210g/x<log/(2x+3) p.244 基本事項 基本 158 159 基本 例題 160 対数不等式の解法 (1) 次の不等式を解け。 (1) log2(x+3)<3 (3)(10gx2+log3x-60 CHART & SOLUTION gzx=い 対数不等式 真数の条件, 底 αと1の大小関係に注意 対数をまとめて真数の不等式へ 0 底2は1より大きいから ② おき換え [logax=t] でtの不等式へ a>1 のとき logap<logag⇔ <p<g 大小一致 0<a<1 のとき 10gap>logag⇔0<<g 大小反対 (3) logsx=t とおくと, tの2次不等式の問題となる。 解答 (1) 真数は正であるから 不等式を変形して x+30 log2(x+3)<10g28 真数に必ず正底にしより大きい?小さいき ① 底を2にそろえる。 5章 x+38 ...... ② 2- ① ② から x>-3 かつ x<5 よって -3<x<5 19 -3 x (2)のよう まで処理 対数関数 (2) 真数は正であるから ゆえに 不等式を変形して x>0 かつ 2x +30 よって 0) ゆえに x<-1,3<x ①②から x>3 1でない 底 は1より小さいから (x+1)(x-3)>0 log/x2 <log/(2x+3) x2x+3 逆になる。 対数の大小と真数の大 小が逆になる。 -2- ...... 2 -10 3 x x>0 ...... ① (3) 真数は正であるから x>0 ① 不等式は (logsx+3)(10gsx-2)0 ゆえに log3x3, 2≦logsx ←logsx=t とおくと ttt-60 よって (t+3)(t-2)≧0 すなわち log3x≦log327 1 10g3910g3x 1 底3は1より大きいから xs ≦x.. 27 1 認は ① ② から 0<x≤7, 9≤x PRACTICE 1600 次の不等式を解け。 (1) log(1-x)>2 (3) 10g(x-2)<1+10g/(x-4) ② ① 01 9 x 27 [(3) 神戸薬大 (4) 福井工大 ] (2)210go.5(x-2)>logo.s(x+4) (4)2(10gzx) +310gz4x<8

256 基本 例題 161 対数不等式の解法 (2) 不等式 10gzx-610gx2≧1 を解け。 CHART & SOLUTION 対数不等式 おき換え [10gax=t] でtの不等式へ 真数の条件、底αと1の大小関係に注意 底を2にそろえると 10g2x- 6 log2x -≥1← ・底の変換公式 基本 基本 関 値 © [H 6 logzxt (tは任意の実数, ただし t≠0) とおくと, t--≧1 となり、両辺にを掛けて の2次不等式の問題に帰着できる。 ただし, tの符号によって不等号の向きが変わるので t0, t<0 で場合分けをする要領で解く。 解答 対数の真数, 底の条件から x>0 かつ x≠1 また logx2= log2x よって, 不等式は 6 10g2x- -≥1 ① log2x [1] 10g2x>0 すなわち x>1のとき ①の両辺に 10g2xを掛けて (10gx2-610gx 底をそろえる。 x=1 から 10gzx = () <a>1 のとき,x>1では logax>0 <t²-t-6 =(t+2) (t-3) よって (logzx)2-10gzx-60 ゆえに (logzx+2) (10gzx-3)≧0 10gzx+20 であるから 底2は1より大きいから log2x-30 すなわち 10gzx3 x≥8 ←10gzx>0から。 log2xlog28 これは x>1 を満たす。 [2] 10gzx < 0 すなわち 0<x<1のとき α>1 のとき, ①の両辺に 10g2x を掛けて (log2x)2-6≤log2x 0<x<1 では l0gax < 0 よって (logzx)2-10g2x6≦0 + ゆえに (logzx+2) (logzx-3)≦0 10gzx-3<0 であるから log2x+20 すなわち 10g2x2 ←logzx<0から。 よって -2≤log2x<0 ← log2 10gzx<loga1 底2は1より大きいから 1≦x<1 これは 0<x<1 を満たす。 [1], [2] から 1 4 ≤x≤1, 8≤x PRACTICE 161 不等式 210g3x-410gx27≦5 を解け。 [ 対 お 10 t d 魚面