18 2021 年度 数学 4 以下の問いに答えよ。 東北大文系前期 (1) 3 次関数y=x+x2のグラフと 2次関数 y=x2 +4 +16 のグラフの共 通接線 (どちらのグラフにも接する直線) は2本ある。 それらの方程式を求 めよ。 R0011 (2) (1) で求めた2本の共通接線と 2次関数 y = x2 + 4x + 16のグラフで囲ま れた部分の面積を求めよ。

34 2021年度 数学<解答> の面積 √3 v3 1xOP XOQ sin-1*** √3 求めるのに、扇形の面積から、正三角形の面積を引いたが、三角形OPQ 東北大・文系前期 2 V33 2 × 2 3 を引いてもよい。ちなみに、1辺の長さがαの正三角形の面積は である。 解答 4 4a² 発想題意は把握しやすい。 共通接線と面積を求める問題で ある。 なお、面積を求めるときに, 3次関数のグラフは必要とし ない。 / (1) y=x+x2のグラフ上の点 (a, a' + α2) における接線の方程 考える。 あるいは, 3次関数の次関数のグラフ 式を作る。 2次関数でも同様の方程式を作り,二者が一致すると に接すると考えてもよい。 (2) 放物線と2本の共通接線との接点の座標, 2接線の交点の座 標を求めて図を描く。 面積は定積分の計算になるから,計算ミス に注意しよう。 (1) y=x+x2のグラフ上の点 (a,d+α2) における接線の方程 式は,y'=3x2+2x より y- (a³+a²) = (3a²+2a) (x-a) すなわち y= (3a²+2a) x-2a3-a² …① である。 y=x2+4x + 16のグラフ上の点 (b, b2+46 +16) における接線の 方程式は, y'=2x+4より y- (b2+46 +16) = (264)(x-b) すなわち y=(26+4)x-b2+ 16 ...... ② である。 ①と②が同一であるための条件は 3a2+2a =2b+4 ③かつ-2a-α?= -6°+16………④ が成り立つことである。 ③より 6=1/2(3 b==(3a²+2a-4)....5 東北大 これ 整

東北大文系前期 これに代入すると -2a3-a²=- 1 理して (30 (3a²+2a-4)2+16 2021年度 数学 <解答> 35 9a+4a³-24a2-16a-48=0 となる。この4次方程式は α=±2を解にもつので、 左辺は (a+2) (-2) を因数にもつ。よって (a+2) (a-2) (9a²+4a+12)=0 となる。 92+4a+12=0は, 判別式をDとすると D=22-9×12=104<0 4 ( となり、実数解をもたないから,⑥の実数解は,α=±2である。 ①より,a=2のときy=16x-20, α=-2のときy=8x+12となるので 求める2本の接線の方程式はが y=16x-20,y=8x + 12 である。金間が ･････(答) (注) 接線 ① 2次関数 y=x+4x + 16のグラフに接すると考えると, 方 程式 x 2 + 4x + 16 = (3a2+2a) x-243-2 すなわち x2+ (4-3a2-2a) x +2a° + α + 16 = 0 が重解をもつ条件を求めることになる。 (判別式) = 0 は (4-3a2-2a) 2-4 (2a3+ a²+16)=0 となり,この式を展開 整理すると⑥と同じ方程式になる。 (2)⑤より,a=2のときb=-(12+4-4)=6,4=-2のとき b=/12 (12-4-4)=2であるから、2次関数y=x+4+16のグラフ上の接 点の座標は (676) (228) である。 また, 2本の接線y=16-20, y = 8x + 12の交点の座標は 16x-20=8x+12 を解いてx=4,このときy=44より (4,44)である。