SECTION 2 指数関数・対数関数 a>0より,x>0y>> 相加平均と相乗平均の関係により、 オ x+y=2√/ry=2√/23a-2.2d =2 =√2 (2) a= 2 カ よって、rty v2 等号が成り立つのは、2-3a=2のときだよ。 両辺にdを掛けて 2-3=2²a 両辺を22で割ると, 3 2-5=a¹ a=2 方程式と不等式 すなわち,a=2のときx+yは最小値√2 をとる。 I= サ ある。 もつための必要十分条件は, コ である。 コ のとき,①もただ一つの解をもち,その解は オ x= キク ケ である。 オ (3) αキ カ のとき②がアの範囲でただ一つの解を もつ。 したがって、 ①もただ一つの解をもち,その解は のとき②はアの範囲でただ一つの解を +10g2ス +√ シ カ -5 コ の解答群 このとき,94 答え:2 シス -5 セ 4 ⑩a>0 ① a <0 a≥0 ③ amo ④ a> 2 指数を含む2次方程式 オ カ オ ⑤ a < カ 過去問にチャレンジ αを定数とする。 xの方程式4+a2+a+α=0 ①がただ 一つの解をもつとき, その解を求めよう。 (1) X=2" とおくと, Xのとり得る値の範囲はア また, ①をXを用いて表すと, Xの2次方程式 x-2x+a=0 ......2 である。 (2018年度センター追試験) (1) 一般に,a> 0 のとき > 0だから,X=2">0だね。 次に、①を変形していくよ! 4z+a=(22)x+a2+a=2F.2° より. 22x+24−2°・2F+α=0 22.(2F)2-2°・2"+α = 0 答え: ① 2X2-2°X+ α = 0 2 となる。この2次方程式の判別式をDとすると 答えイウ: 2a, エ: α 094 D=22α) である。 アの解答群 ⑩ X≧0 ①/X> 0 X≧1 ③X>1 答え: 1, カ:4 このXについての2次方程式の判別式をDとすると. D=(-2)2-4・22・α =22a-4.22a a=22ª (1-4a) 095

42-22-2 これ。 (2)a=1のとき、判別式D=0だからXの方程式②は, 2.x-2x+1=0 2.2x+1=0 (2)2-2.(2x)+1=0 (2x-1)²=0 1 5 X=2 5 22階の の形 するり 方程式と不等式 096 24 よって、2=2-1 -5 ゆえに、x= 4 キク-5 答え ケ 4 (3) a1のとき、②がX>0の範囲でただ1つの解をもつときを考 えていくよ。 「ただ1つの解」 というと重解をもつときも含まれ -5 ているけど,それは (2)でx=- は考えなくていいね。 このときと求めてあるから,これ 方程式の解は軸との共有点だからここで,f(X)=2X2-2X+α とおいて,X軸との交点を考えていこう。10人 ②がX>0の範囲でただ1つの解をもつのは,X> 0 とX≦0 に1 つずつ解をもつときだから, このときのy=f(x) のグラフは右下の図のようになるね! 解の存在範囲の問題では判別式, 軸端点(境 界点)のy座標に注目するんだったね! 判別式はD=22 (1-4α) だったよ。 X- (x)=2x-2.20-12+α +a 4 より軸の方程式はX= 1 20+1だね! 軸 YA X

境界となるのはX = 0 だから,f(0) を考えると,f(0)=d 軸に注目すると, X= これの 条件は?? 2010だから、方程式(x)=0が実数解 をもつなら、少なくとも1つは正の実数解だね! X> 0 とX≦0に1つずつ解をもつための必要十分条件は, D>0 かつ (0) 0 1-4a>0 W a≤0 【別解】 SECTION を解くと,a≧0となるよ。 答え コ③ 2 実は, 「1つだけ正の解」 であるためには、もう1つの制限, 境界(0) の符号 が重要だよ。 グラフからわかる通り, f(0) 0だ。 そして この条件さえあれば, グラフはx軸と共有点をもつんだよ。 つまり,f(0) 0のみを考えればいいから、 a≤0 次は①と②の関係なんだけど, Xが1つ決まると,これに対するx は1つしかないよ。 だから、 まずはXについて解けばいいんだ。 22X2-2°X+α=0を解の公式で解くと, 2°±√/22 (1-4a) 2°±2°√1-4a_1±√1-4a X=- 2.(29)2 2.2ª 2.229 X>0より x=1+√1-4a 2a+1 X = 2 だから, 1 2=- 1+√1-4a 2a+1 x=10g2 1+√1-4a 2a+1 =log2(1+√1-4a) log2 20 +1 =-α-1+log2(1+√1-4a) 指数関数・対数関数 答え サ:-, シ:1,ス: 1 097