解 272. (4)正の実数αと正の整数nに対して次の等式が成り立つことを示せ。 ただし, eは自 然対数の底とする。 6/ -exdx a² e°=1+a+ ・+・ + 2! n! Jo n! a² + S² (a = x)" e² (2)正の実数αと正の整数nに対して次の不等式を示せ。 an+1 (a (a-x)" (n+1)! 20 -ex dx ≤ n! ean+1 (n+1)! (3)不等式 le-(1+1+/2/1 + + 2! 7/10 <10-3 を満たす最小の正の整数nを求めよ。 必要ならば 2 <e <3 であることは証明なし に用いてもよい。 [21 東北大 理系]

1 272 <自然対数の底eの近似> (1) 数学的帰納法と部分積分法を用いる。 So (a = x) * ex dx = So { _ (a-x)*+1) k! (k+1)! ex dx と考える。 (1) n=1, 2, 3, に対して fn(a)=1+a+ a² .+......+ 2! a” +Sºª¯x)" e* dx ¿¢¾. Jo n! fn(a) = e....... ① を数学的帰納法を用いて示す。 [1] n=1のとき fı(a)=1+a+Sº (a−x)e* dx=1+a+S" (a−x)(e*)' dx ◆部分積分法 - a+ [ex]² = e² ea =1+a+[(a−x)e*]® +S%e* dx=1+a−a¬ よって, n=1のとき ① は成り立つ。 [2] n=k のとき,①が成り立つと仮定する。 ここで )+1 S" (a-x)* e* dx = {(a-x)" e* dx k! (k+1)! = [-((k+1)! (a-x)k+1 a" k+1 0x]² + Sa² ( a − x) 4+1 Jo + + Sa (a-x) 4+1 (k+1)! Jo (k+1)! (k+1)! ex dx ex dx ◆部分積分法 よって, n=k+1 のときを考えると fr+1(a)=1+a+2! a² ak ・+・ ・+ k! ak+1 + + a² =1+a+ ++ 2! k! ak -Sa²- (k+1)! Jo (k+1)! +(ª² (a− x) * + Jo k! -e* dx a (a− x ) k +1 -e* dx = f(a) = ea よって, n=k+1 のときも ①が成り立つ。 [1], [2] から すべての正の整数nに対して, ① が成り立つ。 (2) 0≦x≦a のとき (a-x)" また, n! 1≤ex ≤ea -0であるから (a-x)" (a-x)" n! = (a-x)" n! * よって ex (a-x)" ea n! ((a-x)" dxf (a-x)" e* dx = (a-x)" e dx ここで、Salax n! Jo n! a (a-x)" - (n+1)! Jo So (a = x)" dx = [ = (a = x)" +1] = an+1 - ea an+1 (n+1)! = √(a¯x)" e* dx = e°q*+ n! (n+1)! Jo n! an+1 であるから (n+1)! ←区間 a≦x≦ f(x) ≤ g(x) f(x)dx= (3) α=1のとき (1) から 2! e-(1+1+2++ 1) = ('(1-x)" e* dx n! n!