3 【必須問題】(配点 50点) の3次式 f(x)=x³-(k+2)x²+(k²+2k-2)x-k²+2k と、xの3次方程式 がある. ただし, は正の定数とする. (1) f(k) を求めよ. f(x)=0 (*) (2)k=1のとき, (*) を解け.- (3) (*) が異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ。 また、 そのとき, (*) を解け. の場合 (4) 実数x に対して, x以下の最大の整数を [x] と表す。 例えば. [3.51 3. [21=2

(3) 思考力・判断力 (1)の結果と因数定理より,f(x)はx-kを因数にもつか…(1)の結果は,f(k)=0. ら, f(x) を x-k で割ると,次のようになる。 -2x +k²-2 x-k)x-(k+2)x² + (k²+2k−2)x− k³+2k -kx² 2x2+(k^+2k-2)x -2x2 +2kx (k²-2)x-k³+2k (k-2)x-k3+2k よって, == f(x)=(x-k)(x²-2x+k2-2 f(x)=0. であるから, (*)の解は, x=k または x²-2x+k-2=0」 :・(*) を満たすxである. ・k は (*)' を満たすxの値の1つであり,さらに,んは実数 であるから, (*) が異なる3つの実数解をもつための条件は, xの2次方程式 は正の定数であるから, は実数である. ・解の判別 x²-2x+k-2=0 2次方程式 が異なる2つの実数解をもち,かつ, ②がx=kを解にも たないことである. ここで,②の判別式をDとすると, ②が異なる2つの実 数解をもつための条件は, D >0. 4 さらに, =(-1)²-1. (k²-2) =3-k². であるから,これを③へ代入すると ③より, 3-k² >0. k²-3<0. ③ ax2+bx+c=0 (a, b, c は実数の定数) について, D=62-4ac とおく と、この方程式の解は, D0 のとき,異なる2つの実数解, D=0のとき, (実数の) 重解, D<0 のとき,異なる2つの虚数解 である.Dを判別式という. 2次方程式 ax2+26'′x+c=0 (a, b', c は実数の定数) の判別式をDとするど =(b)²-ac. 20(k+√3)(k-√√3) <0. これとk>0より, Ok<3.

また、2がx=k を解にもつための条件は,x=kのと..... きに②が成り立つこと, すなわち, x²-2x+k^2-2=0. k-2k+k-2=0 であり,これより, 2k2-2k-2=0. k2-k-1=0. k=115 2 これとk>0より, (√3)-(1+√5)² =3-3+65 2 -3-5>0 2 k= 1+√5 であるから, 2 したがって,②がx=kを解にもたないための条件は, (1+25) < (3). k0 かつk ≠- 1+√5 よって、 ④ 2 ③", ④ より 求めるkの値の範囲は, (0<)1+√5<√3. ③ 1+√5 <<1+27/5, 1+1/5 <k<√√3. ⑤ < 4 ④ん 2 2 ･･･ (答) また, (*)の解は, (*) を満たすxの値であるから, ⑤ のと 1+√√5 √3 2 f(x) = 0. (*). (*)を解くと, 「 x=k または x²-2x+k^2=0」. ... (*) x=k, 1±√3-k2. ( (4) 思考力・判断力表現力 (4)の参考が後にあります.