？？なぜ両辺を-2 するのかがわからないです、、、

一般的に、
　(x-a)(x-b) ≧ 0 ただしa<b
の場合、
　x ≦ a または b ≦ x
です。
ちなみに、
　(x-a)(x-b) ≦ 0 ただしa<b
のときは、
　a ≦ x ≦ b
です。

泥臭いですが、基本に忠実に考えてみます。
m+2 と m-6 を掛けてゼロ以上だから、
ともにゼロ以上か、ともにゼロ以下の2通りあります。

①ともにゼロ以上のとき
　m+2 ≧0 かつ m-6 ≧ 0
　→ -2 ≦ m かつ 6 ≦ m
　→ 6 ≦ m

②ともにゼロ以下のとき
　m+2 ≦ 0 かつ m-6 ≦ 0
　→ m ≦ -2 かつ m ≦ 6
　→ m ≦ -2

①②より、
　m ≦ -2 または 6 ≦ m