△ABCの重心をGとするとき,次の等式が成り立つことを証 明せよ。 A AB'+BC2+CA=3(AG2+BG2+CG2) B C

辺BC, CA, ABの中点を, それぞれ L,M,N とする。長と △ABCに中線定理を適用して AB2+ AC2=2AL2+2BL2 BC2+BA2=2BM2+2CM 2 CA2+CB2=2CN2+2AN2 点Gは重心であるから A 中線定理 △ABCの辺BCの中点 をMとすると AB2+AC2 =2(AM²+BM²) N \M ① ② 21 (3) B L C 3 AAL=AG BM=BG, CN= =121AG/BM= よって, ①+②+③ から BM=1212BG, CN-128CG 2 (AB2+BC2+CA2) =2(AL2+BM2+CN2)+2(BL2+CM2+AN2) AG:GL=2:1 など。