B 4 問 33 三角関数の最大・最小 (2) AB=1, BC=2,CD=3, DA=4 の四角形ABCD をKとする. Kは 条件 (*) ∠A, ∠B, ∠C, ∠D はいずれも0との間にある を満たしている. ∠B=x, <D = y, K の面積をS, α を cosa= 2 3 << で定まる実数とする. (1)x+yのとり得る値の範囲を求めよ. dy (2) Mxyで表せ. dx (3) Sが最大となるのは,Kが円に内接するときであることを示せ. ~ 20/200 (滋賀医科大, 旭川医科大、 法政大 ここで最大 (1) AB+AD=CB+CD=5 より, 解法のプロセス ○精講 xは0<x<πの範囲を動き得る ので,xに応じてyがどう動くか調べるのがよい でしょう. (2) 対角線ACでKを分割し て余弦定理を用いる 陰関数の微分法 (標問30) を使 う (2)との関係を知るには, ACB と △ACD に余弦定理を適用します。 (3)Kが円に内接することは,x+y=πが成 り立つことと同値です. <解答 引き,直線 ーる. OP+00 (1) AB+AD=CB+CD=5 と条件(*)より, rは 0<x<л B 2 C ■のとする。 の範囲を動き得る. (青山学院大) =0, sin0) このとき, ACはの増加関数で,y は AC の 増加関数であるから, yはxの増加関数. したがって, yはxの連続な増加関数である. ......① I B C この曲 で直進する x0 のとき,y → 0 →πのとき, AC3 となるので,Kは AD を底辺とする二等辺三角形に近づく. よって ■値を求め y-a ゆえに,rtyのとり得る値の範囲は 3 第2章 Y

0<x+y<π+α ③ である. (2) ACBとACD に余弦定理を適用すると AC2=12+22-2・1・2cosx =5–4cosr AC2=32+42-2・3・4cosy =25-24cosy ③ ④より 24cosy=4cosx+20 両辺をェで微分して -24 siny. dx dy=-4sin x dy sinx .. dx 6siny B yはxの陰関数とみなせる (標問 30 ) ⑤ dx dy0 となるので、 ①が式 で確認できる。 (1)ははじめか らこうしてもよい。 (3) S=AACB+AACD =12・1・2sinr+1/2･3･4siny=sin.r+6siny sinx_sinrcosy+cosxsiny siny したがって, dS dy =cosx+6 cosy dr dx d.x =cosr+cosy = siny sin(x+y) siny ⑤を代入 <- sing>0 x+y=πとなるときのxの値をβとする IC (0) B Sは右表のように増減する. ゆえに Sが最大となるのは, x+y=π, x+y (0) ... : π なわち, Kが円に内接するときである. dS + 20 d.x S 4X4 ( (+α) T