標問 23 極大値・極小値 関数 f(x)= 1 IC e-axx>0 において2つの極値をもつとき, 定数α してつねに(z)( のとり得る値の範囲を求めよ. ただし, lim x2 x→∞ ex =0 である.(東京電機大)

f'(x)=-x² 1 2 2 +ae = -ax_ax²- -ax- -1 ◆分母=20 x2 したがって, f(x) が極値をもつためには g(x)=axe-ax-1 の符号が x>0 の範囲で変化すればよい. a≧0 のとき,g(z)<0 (x>0) となるので のとき,g(x)の as0 a>0 である。このとき 符号は変化しない

g'(x)=2axe-ax. - a²x²e-ax 63 =ax(2-ax)e-ax より, g(x)は表のように増減する。 ax=t とおくと lim g(x) = lim {a (4) e-1} X18 = lim t18 a et かつ, g(0)=-1 であるから, g(x) の符号が2回変 化する条件は I 0 g'(x) + g(x)-17 270 - ← g (0) limg(x) の符号 HIS べる C a 9(2/2)=4 a -2-1>0 .0<a< e²