例題26 直線x+y=1 ①が円x+y=4 と、線分の中点の座標を求めよ。 ・②によって切り取られてできる線分の長さ 解答 円 ②の中心 (0, 0) と直線 ①の距離を とすると ① |-1| d= = √√12+12 円 ②の半径は2であるから, 線分の長さを1とすると 12=22-d2=4-- 1 7. -2 2x 2-2 10であるから 1= 17_V14 = -2 よって, 線分の長さは 21=√14 また、線分の中点は,円②の中心 (0, 0) から直線①に 下ろした垂線と, 直線 ①との交点である。 この垂線の方程式は y=x ③ ①③を解くとx=/12y=1/2 よって、線分の中点の座標は 2 足 線分の中点のx座標は, 2次方程式の解と係数の関係を用いて求めることもできる。 ①,②から」を消去して 2x2-2x-3=0 この2次方程式の解を α β とすると, 解と係数の関係により a+β=1 線分の両端の x 座標は α,βであるから,線分の中点のx座標は α+B = 2