基本的に意味上の主語を示さない場合は、文の主語と同じになる。
なので、「嘘をついた」のが子供ではない、つまり文の主語と違う人なら意味上の主語を置きます。

今回の場合
「嘘をついた」のはThe child 自身（＝文の主語）なので、わざわざhim/hisを入れる必要がありません。

逆に入れてしまうと、「嘘をついたのはhim」＝「その子じゃない別の人が嘘をついた」ような感じに伝わるのではないかと思います。それでは、上の文と同じ意味にはならないのでhimはない方が適切でしょう。

基本、動名詞の意味上の主語は、文の主語と違う時に必要だということをおさえておくと良いと思います！

あくまでもご参考程度に。