59 関数f(x) を次のように定める。 logx I f(x)= (x≥1) (金) 画 ne [x2+ax+b (x <1) このとき、関数 f(x) が x=1で微分可能であるように, a, b を定め よ. ただし, lim log (1+h) -= 1 は用いてよい。 h→0 h 精講 f(x) がx=αで微分可能とは、f'(α) が存在することを意味しま すから,ここでは f' (1) が存在することを示します. 定義によると lim f(1+h)-f(1) h→0 nial hate! -=f'(1) ですが, 1+hと1の大 lim (1h)-f(1)_ f(1+h)-f(1) 小,すなわち, ん>0 とん<0 のときでf(1+h) の式が異なるので,ん→+0, ん→0 の2つの場合を考え, lim 52 左側極限, h ん→-0 h ん→+0 右側極限 が成りたてば lim h→0 f(1+h)-f(1) h が存在する ことになり、目標達成です。 これだけで α, bの値は求 められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利 用してαとbの式を1つ用意しておくと, ラクに a, b の値を求められます。 153 解答 まず, x=1 で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ。 lim (x2+ax+b)=0 x-1 log1 -=0 x-1-0 よって,1+α+6=0 ...... ① このとき lim f(1+h)-f(1) = lim ん→+0 h h→+0 h 1+h 1 (1) 08 (1)