14 【選択問題】数学Ⅰ 2次関数 ( 2次関数の最大・最小) (配点 50点) (1) 2次関数 について考える. y=x²-2x+2 (i) yの最小値を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ. (0≦x≦3 におけるyの最大値を求めよ. 0以上の定数とする. k≦x≦k+2におけるyの最小値を, 0≦k≦1と 1 <k の場合に分けて求めよ. (2) 関数f(x), g(x) を次のように定める. f(x)=x²-2x+2, (i) 0≦x g(x)={ f(x) (x<3のとき), -f(x)+2x+4 (3≦xのとき)。 におけるg(x) の最大値と最小値をそれぞれ求めよ. 0以上の定数とする.k≦x≦k+2 におけるg(x)の最小値を求めよ.

4-4 (ii) 思考力・判断力 道しるべ 区間 k≦x≦k+2 における y=g(x) のグラフを, yの最小値を与えるxの位置に応じてかいてみる。 が0以上のとき, 区間 k≦x≦k+2における y=g(x) のグラフは,yの最小値を与えるxが, x=1, または、区間の左端,または, 区間の右端 のいずれかの位置となり,これに応じて次のような(あ), (い),(う)の3つの場合が考えられる. (あ) ※21 (13) y y=g(x) 01 34 : k+2 (5) y 5 x y=g(x) x 3 4 k+2 よって, y=g(x) kt. x 01/ 34 y=g(x 最小

(あ) x=1で最小値をとる, (い) 区間の左端で最小値をとる (う) 区間の右端で最小値をとる に場合分けして考える. ここで, () の場合分けの境界となるkの値は, 1sks3においてa(k)=g(k+2) を満たすんであり g(2)=g(4)=2であるから, k=2のときである. k=2のとき, x ける y=g(x) のグラフは,次 この図の実線部分となる. y= g(x) ( k 0ks1のとき. +2,すなわち, 123 g(x) は x=1で最小値をとり, 最小値 m は, ･･･ 1k3において, m=g(1) =1. (い) 1<k<2のとき. g(x)はx=kで最小値をとり、 最小値 m は, m=g(k) =k-2k+2.・・・・・ <-55- として, g(k)=g(k+2) k2-2k+2 =-(k+2)'+4(k+2+2 k-k-2=0. (k+1) (k-2)=0. 1≦k≦3 より k=2 として, 場合分けの境界となる kの値を求めてもよい。 は0以上の実数. 場合分けは, (5) 0≤k<1, (0) 1≦k≦2, (5) 2<k あるいは, (あ) 0≦k≦1, (い) 1≦k≦2, (う) 2≦k などでもよい. y=g(x) 最小 0 1 34 k k+2' jy=g(x) 最小 x 0 11 34 k+2 <3のとき, g(x)=x^2-2x+2.