そのthat節は、recognitionの内容を説明する同格のthat節なので、
ハム太郎さんの質問の答えは
the traditional family以降の独立分詞構文のまとまりがrecognitionの内容、認識している内容に含まれるのか
という読解の問題になると思います。
訳がおかしいから、とかではなく
純粋に読解の問題です。

カンマの位置などの見かけだけから判断すると
どちらに解釈することも可能です。
独立分詞構文の場合、主節の後ろに置かれる場合にもカンマが打たれることはあります。その方が文構造が理解されやすくなるからです。
ちなみに、普通の分詞構文でも同じことは無くもないです。カンマの打ち方は、原則があるにせよ、その原則は厳密と言えるほどには守られてなかったりします。

確実に言えることから考えると
①its formsのitsは、that節の主語the familyを指しています。
そして
②the family is〜の文は間違いなくthat節の中、つまりrecognitionの内容を表しています。
この①②は確実です。

問題のthe traditional family〜の独立分詞構文は、
①で書いたように代名詞によって、
その前のthe familyの節とつながっています。
②の通り、the familyの節はrecognitionの内容だから、
それに代名詞でつながってる今回の独立分詞構文も、
the familyの節と同じようにrecognitionの内容(=that節の中)と考えるのは自然だと思います。

で、代名詞があれば必ず同じ節内でのつながりになるのかと言ったらそうでもないのです。でも、
今回の独立分詞構文がthat節の外にあるとすると、これは「認識」ではなく「事実」であるということになると思うんですね。recognitionの内容を表す節の外にあるのだから。
で、
先行するthe familyの節は構文的に明らかに認識の内容で、なのにこの独立分詞構文の内容だけを認識とは区別された事実として書く
それほどの理由があるのかどうか…
その理由があるなら、独立分詞構文はthat節の外にある、という解釈でいいと思いますが、たぶんないんじゃないかなと思います。

今回その一文しか見せてもらってないから、最終的には前後の内容をご自身で判断してほしいですけど