2次方程式の解と因数分解 43 2次方程式の解法として, 「因数分解」を用いる方法はよく知っていると思 います.例えば x2+px+g=0 という方程式が (xa)(x-β)=0 第2章 と因数分解できたとすれば,この2次方程式の解は x=α β となります. 裏を返すと, 2次方程式 '+px+g=0の解がx=α,βであ るならば、2次式x'+px+g は x2+px+g=(x-a)(x-B) と因数分解できる, ということもできます. これまでは, 「2次方程式の解を求めるために因数分解する」 のがふつうだ ったのですが、逆に「因数分解するために 2次方程式の解を求める」という流 れも考えられるわけです. 2次方程式の解は,解の公式を用いれば確実に求め ることができるのですから, すべての2次式は (複素数の範囲で) 確実に因数分 解することができることになります。 一般に,次のことが成り立ちます. ✓ 2次方程式の解と因数分解 2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解がα βであるとすると, 2次式 ax2+bx+c は += @x²+bx+c⇒a(x>a)(xß) と因数分解できる . ここにαがつくことに注意) 元の式と因数分解した式はの係数が等しくなるはずですので,左辺のx2 の係数がαのときは, 右辺の因数分解した式の頭にもαがつくことに注意し てください。 -1±√7i 例えば,2x2+x+1=0 の解はx= ですので, 4 −1+√7i −1-√√7 i\ 2.x2+x+1=2x- IC 4

44 第2章 複素数と方程式 練習問題 4 次の2次式を複素数の範囲で因数分解せよ. (1) x²+3x-2 O (2) x²+4x+8 × J (2)x2+4+8 (3) 3x²+7x+3 ○ (4) 4.x2+2x+10 精講 通常の因数分解の問題では, 係数は「整数(または有理数)の範囲」 という暗黙の了解があります. その範囲では因数分解できない式も 多いのですが、複素数も係数に用いてよいのであれば、どんな2次式も確実に 因数分解できます。 解答 (1) 2次方程式 x2+3x2=0 の解は,解の公式より x= -3±√32-4・1・(-2) -3±√17 = 2 2 なので, x2+3x-2=x- 2 (2) 2次方程式 24 -3+√17 A 200 -3-17 IC 2